外積の覚えやすい書き方とスカラー三重積

最終更新日: 2014-01-26

ベクトルのスカラー三重積で,おもしろい書き方があるのを知ったのでここに書いておこう.

ベクトルのスカラー三重積で,おもしろい書き方があるのを知ったのでここに記す.

ベクトルの外積$\bm{B} \times \bm{C}$の定義として行列式を用いた \begin{align} \bm{B} \times \bm{C} & = \mathrm{det} \left| \begin{matrix} \hat{\bm{x}} & \hat{\bm{y}} & \hat{\bm{z}} \\ B_x & B_y & B_z \\ C_x & C_y & C_z \end{matrix} \right| \end{align} という書き方がある.ベクトル$\bm{A}$を \begin{align} \bm{A} = A_x \hat{\bm{x}} + A_y \hat{\bm{y}} + A_z \hat{\bm{z}} \end{align} と書くと,スカラー三重積$\bm{A} \cdot (\bm{B} \times \bm{C})$は, \begin{align} \bm{A} \cdot (\bm{B} \times \bm{C}) & = (A_x \hat{\bm{x}} + A_y \hat{\bm{y}} + A_z \hat{\bm{z}}) \cdot \mathrm{det} \left| \begin{matrix} \hat{\bm{x}} & \hat{\bm{y}} & \hat{\bm{z}} \\ B_x & B_y & B_z \\ C_x & C_y & C_z \end{matrix} \right| \\ & = \mathrm{det} \left| \begin{matrix} A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \\ C_x & C_y & C_z \end{matrix} \right| \end{align} このように書くと,行の入れ替え1回でマイナスが付くこともよく分かるし,何と言っても計算が楽になる.