テイラー展開のカンドコロ

1. 何が小さい量なのか？ ¶

「原点近傍の電気双極子（ $\pm q$ の電荷が $d$ だけ離れているとする）のつくる電場は十分離れた位置 $r$ では」などと言って $r\gg d$ とする．このとき，何が微少量かと言えば，$d/r\ll 1$ から分かるように $d/r$ なのである．$d$が微小量だと言うのは間違いであることに注意してほしい．$d$自体はどんな大きさでも良いのである．決して小さくない値，たとえば$d=1[\mathrm{m}]$であっても，$r={10}^{10}[\mathrm{m}]$なら文句無く$d/r\ll 1$なのである．何かに対して小さいとか大きいとか言えても，それ自体には大きいも小さいもないということ．また，$d\ll 1$という書き方も気持ち悪いと感じられるようになってもらいたい．$d$ は距離の次元を持つのに対して，$1$は単なる数でしかない．単位がないのである．これでは，その$1$ が1メートルなのか，1キロメートルなのか，はたまた1ナノメートルなのか定まらない．$d/r\ll 1$と表記すれば，それは$d$と$r$とが比べられていて，同じ次元の大小関係になっているのである． 以上はまだ分かりやすい例で，少々込み入ったものに，統計力学ではお馴染み(？)の $\exp (-ϵ/k_{B}T)$ のような形をしたものがある．

高温とは$k_{B}T\gg ϵ$の意味であり，低温とはすなわち $k_{B}T\ll ϵ$のことである． それぞれの場合で $\exp (-ϵ/k_{B}T)$ が $1$ に近い量なのか微少量であるかが変わってくる． 無次元量について議論するならば，高温では$ϵ/k_{B}T\ll 1$ となる．つまり，微少量は $ϵ/k_{B}T$ なのであって，$\exp (-ϵ/k_{B}T)$ は微少量ではなくて $1$ に近い値をとる．逆に低温のときは$ϵ/k_{B}T\gg 1$ から $\exp (-ϵ/k_{B}T)$ は微少量となる．これをまとめると，

高温($k_{B}T\gg ϵ$)のとき， $$\begin{array}{}\text{(1)}& \exp (-ϵ/k_{B}T)\simeq 1\end{array}$$ となり， 低温($k_{B}T\ll ϵ$)のとき， $$\begin{array}{}\text{(2)}& \exp (-ϵ/k_{B}T)\ll 1\end{array}$$ である．

2. どの近似式を用いるか？どのオーダーまで残すか？ ¶

ほとんど1.と対になっているようなものだが，どれが微少量かハッキリとしたとき，適切な近似を用いなければならない．特に紛らわしい項として $\log 1-\exp (-ϵ/k_{B}T)$を挙げておこう．何が微少量で，どれを展開すべきか，と考えよう． 繰り返しになるが，高温では$ϵ/k_{B}T\ll 1$，つまり，微少量は $ϵ/k_{B}T$ だった．よって$\exp (-ϵ/k_{B}T)$ は微少量ではなくて $1$ に近い値をとる．$\exp (-ϵ/k_{B}T)\simeq 1-ϵ/k_{B}T$から， $$\begin{array}{}\text{(3)}& \log [1-\exp (-\frac{ϵ}{k_{B}T})]\simeq \log \left(\frac{ϵ}{k_{B}T}\right)\end{array}$$ 低温のときは$ϵ/k_{B}T\gg 1$ から $\exp (-ϵ/k_{B}T)$ は微少量となり，$\log (1-x)\simeq -x$から $$\begin{array}{}\text{(4)}& \log [1-\exp (-\frac{ϵ}{k_{B}T})]\simeq -\exp (-\frac{ϵ}{k_{B}T})\end{array}$$ となるのである． 学部で習う電磁気学や統計力学では，打ち消し合わない限りだいたいが最低次までの展開でよく，稀に高次の項を求めなければならない場合がある¹．