テイラー展開のカンドコロ

1. 何が小さい量なのか？ ¶

「原点近傍の電気双極子（ $ \pm q $ の電荷が $ d $ だけ離れているとする）のつくる電場は十分離れた位置 $ r $ では」などと言って $ r \gg d $ とする．このとき，何が微少量かと言えば，$ d / r \ll 1 $ から分かるように $ d / r $ なのである．$ d $が微小量だと言うのは間違いであることに注意してほしい．$ d $自体はどんな大きさでも良いのである．決して小さくない値，たとえば$ d = 1 [{\rm m}] $であっても，$ r = 10^{10} [{\rm m}] $なら文句無く$ d / r \ll 1 $なのである．何かに対して小さいとか大きいとか言えても，それ自体には大きいも小さいもないということ．また，$ d \ll 1 $という書き方も気持ち悪いと感じられるようになってもらいたい．$ d $ は距離の次元を持つのに対して，$ 1 $は単なる数でしかない．単位がないのである．これでは，その$ 1 $ が1メートルなのか，1キロメートルなのか，はたまた1ナノメートルなのか定まらない．$ d / r \ll 1 $と表記すれば，それは$ d $と$ r$とが比べられていて，同じ次元の大小関係になっているのである． 以上はまだ分かりやすい例で，少々込み入ったものに，統計力学ではお馴染み(？)の $ \exp(- \epsilon / k_B T) $ のような形をしたものがある．

高温とは$ k_B T \gg \epsilon $の意味であり，低温とはすなわち $ k_B T \ll \epsilon $のことである． それぞれの場合で $ \exp(- \epsilon / k_B T) $ が $ 1 $ に近い量なのか微少量であるかが変わってくる． 無次元量について議論するならば，高温では$ \epsilon / k_B T \ll 1 $ となる．つまり，微少量は $ \epsilon / k_B T $ なのであって，$ \exp(- \epsilon / k_B T) $ は微少量ではなくて $ 1 $ に近い値をとる．逆に低温のときは$ \epsilon / k_B T \gg 1 $ から $ \exp(- \epsilon / k_B T) $ は微少量となる．これをまとめると，

高温($ k_B T \gg \epsilon $)のとき， \begin{equation} \exp(- \epsilon / k_B T) \simeq 1 \end{equation} となり， 低温($ k_B T \ll \epsilon $)のとき， \begin{equation} \exp(- \epsilon / k_B T) \ll 1 \end{equation} である．

2. どの近似式を用いるか？どのオーダーまで残すか？ ¶

ほとんど1.と対になっているようなものだが，どれが微少量かハッキリとしたとき，適切な近似を用いなければならない．特に紛らわしい項として $ \log{ 1 - \exp( - \epsilon / k_B T) } $を挙げておこう．何が微少量で，どれを展開すべきか，と考えよう． 繰り返しになるが，高温では$ \epsilon / k_B T \ll 1 $，つまり，微少量は $ \epsilon / k_B T $ だった．よって$ \exp(- \epsilon / k_B T) $ は微少量ではなくて $ 1 $ に近い値をとる．$ \exp(- \epsilon / k_B T) \simeq 1 - \epsilon / k_B T $から， \begin{equation} \log \left[ 1 - \exp \left( - \frac{\epsilon}{ k_B T} \right) \right] \simeq \log \left( \frac{\epsilon}{k_B T} \right) \end{equation} 低温のときは$ \epsilon / k_B T \gg 1 $ から $ \exp(- \epsilon / k_B T) $ は微少量となり，$ \log(1-x) \simeq -x $から \begin{equation} \log \left[ 1 - \exp \left( - \frac{\epsilon }{ k_B T} \right) \right] \simeq - \exp\left( - \frac{\epsilon }{ k_B T} \right) \end{equation} となるのである． 学部で習う電磁気学や統計力学では，打ち消し合わない限りだいたいが最低次までの展開でよく，稀に高次の項を求めなければならない場合がある¹．