異常Hall効果:線形応答理論からBerry曲率を用いて記述する

はじめに ¶

Berry曲率による異常Hall効果の導出をまとめた． 同じテーマを扱った文献として野村¹など多数あると思われるが，ハミルトニアンから出発して線形応答理論に基づいて導出したものはなかなか見つけられなかった． そこでこのノートでは，一般的な格子系のハミルトニアンから始めて，線形応答理論に基づいて異常Hall伝導度を計算し，それをBerry曲率を用いて書き下すことを行った．

大まかな計算の流れは，以下の通りである． まず与えられたハミルトニアンを対角化し，固有状態で記述する． 電流演算子がハミルトニアンの波数微分で与えられることから，電流演算子を固有状態の基底に書き換えたとき，一般化されたBerry接続が現れる． 一般化されたBerry接続は，波数空間のゲージ場に他ならない． また，Green関数も固有状態の基底で記述する． そののち，線形応答理論に基づいて電気伝導度テンソルを計算する． このとき，電気伝導度テンソルを固有状態の基底で書き換えると，異常Hall伝導度はBerry曲率で記述されることが分かる． 波数空間のゲージ場の場の強さが，Berry曲率に他ならないことも分かる． また，縮退がある場合についても議論した．

強束縛模型と波数空間のゲージ場(縮退のない場合) ¶

以下で表される強束縛模型を考える． $\mathcal{H} = \mathcal{H}_0 + \mathcal{H}_M$として， $$\begin{align} \mathcal{H}_0 & = - t \sum_{\langle i, j \rangle} ( c_i^{\dagger} c_j^{} + \mathrm{h.c.} ) - t’ \sum_{\langle\langle i, j \rangle\rangle} ( c_i^{\dagger} c_j^{} + \mathrm{h.c.} ) + \cdots , \\ \mathcal{H}_M & = - \sum_i c_i^{\dagger} \bm{M} \cdot \bm{\sigma} c_i^{} ,\end{align}$$ ここで，$c_i = \T(c_{i, \uparrow}, c_{i, \downarrow})$は$i$サイトの電子の消滅(生成)演算子で，$t$, $t’$は最近接と次近接の飛び移り積分で，和の$\langle i, j \rangle$と$\langle\langle i, j \rangle\rangle$は最近接のみ，次近接のみでの和を意味する． $\cdots$の意味は，そのような飛び移り積分の強さが一定のホッピング項が幾つあってもよいことを意味している． $\bm{M}$は時空間に依存しない磁化であり，$\bm{\sigma} = (\sigma^x, \sigma^y, \sigma^z)$はPauli行列である． これをFourier変換すると， $$\begin{align} \mathcal{H} & = \sum_{\bk} \tilde{c}^{\dagger}_{\bk} H_{\bk} \tilde{c}^{}_{\bk}\end{align}$$ と波数に対角的になった表式になる． ただし，$\tilde{c}_{\bk}$は2成分スピノルではなく，副格子の自由度$a$も含めた$2 a$成分スピノルである． ハミルトニアン$H_{\bk}$は一般には対角的ではないので， $$\begin{align} U^{\dagger}_{\bk} H_{\bk} U^{}_{\bk} & = E_{\bk} \label{eq:UHU=E} \end{align}$$ とユニタリ変換して対角化する． すなわち，$\tilde{c}_{\bk} = U^{}_{\bk} \bar{c}_{\bk}$と書き換えることに相当する． このときの固有状態を$\ket{n, \bk}$と書くことにする． すると， $$\begin{align} U^{}_{\bk} = \begin{pmatrix} \cdots & \ket{n - 1, \bk} & \ket{n, \bk} & \ket{n + 1, \bk} & \cdots
\end{pmatrix} , \qquad U^{\dagger}_{\bk} = \begin{pmatrix} \vdots \\ \bra{n - 1, \bk} \\ \bra{n, \bk} \\ \bra{n + 1, \bk} \\ \vdots
\end{pmatrix} \label{eq:U}\end{align}$$ と表され，ハミルトニアンは $$\begin{align} \mathcal{H} & = \sum_{\bk} \bar{c}_{\bk}^{\dagger} E_{\bk} \bar{c}^{}_{\bk} \\ & = \sum_{\bk, l} \epsilon_{\bk l} \bar{c}_{\bk l}^{\dagger} \bar{c}^{}_{\bk l}\end{align}$$ と対角的になる．

電流演算子は，一般に $$\begin{align} J_{i} & = \sum_{\bk} \tilde{c}^{\dagger}_{\bk} \left( \frac{1}{\hbar} \frac{\partial H_{\bk}}{\partial k_i} \right) \tilde{c}^{}_{\bk}\end{align}$$ と書けるが，これに対してもユニタリ変換$\tilde{c}_{\bk}^{} = U^{}_{\bk} \bar{c}^{}_{\bk}$を施すと， $$\begin{align} J_i & = \sum_{\bk} \bar{c}^{\dagger}_{\bk} U^{\dagger}_{\bk} \left( \frac{1}{\hbar} \frac{\partial H_{\bk}}{\partial k_i} \right) U_{\bk}^{} \bar{c}^{}_{\bk}\end{align}$$ となるが，式 (\ref{eq:UHU=E})を逆に解いて$H_{\bk} = U^{}_{\bk} E_{\bk} U^{\dagger}_{\bk}$であるので， $$\begin{align} U^{\dagger}_{\bk} \frac{\partial H_{\bk}}{\partial k_i} U^{}_{\bk} & = U^{\dagger}_{\bk} \frac{\partial (U^{}_{\bk} E_{\bk} U^{\dagger}_{\bk})}{\partial k_i} U^{}_{\bk} \notag \\ & = \frac{\partial E_{\bk}}{\partial k_i} + U^{\dagger}_{\bk} \frac{\partial U^{}_{\bk}}{\partial k_i} E_{\bk} + E_{\bk} \frac{\partial U^{\dagger}_{\bk}}{\partial k_i} U^{}_{\bk}\end{align}$$ を得るが，ここで$1 = U^{\dagger}_{\bk} U^{}_{\bk}$から $$\begin{align} 0 & = U^{\dagger}_{\bk} \frac{\partial U^{}_{\bk}}{\partial k_i} + \frac{\partial U^{\dagger}_{\bk}}{\partial k_i} U^{}_{\bk} \notag \\ \therefore \ & \frac{\partial U^{\dagger}_{\bk}}{\partial k_i} U^{}_{\bk} = - U^{\dagger}_{\bk} \frac{\partial U^{}_{\bk}}{\partial k_i}\end{align}$$ であり， $$\begin{align} U^{\dagger}_{\bk} \frac{\partial U^{}_{\bk}}{\partial k_i} & = - \zi A_{\bk, i}\end{align}$$ として波数空間のゲージ場を導入すると， $$\begin{align} J_{i} & = \sum_{\bk} \bar{c}^{\dagger}_{\bk} \left( \frac{1}{\hbar} \frac{\partial E_{\bk}}{\partial k_i} + \frac{1}{\zi \hbar} [A_{\bk, i}, E_{\bk}]_{-} \right) \bar{c}^{}_{\bk} \\ & = \sum_{\bk, l} \frac{1}{\hbar} \frac{\partial \epsilon_{\bk l}}{\partial k_i} \bar{c}^{\dagger}_{\bk l} \bar{c}^{}_{\bk l} - \sum_{\bk} \sum_{l \neq m} \frac{\epsilon_{\bk l} - \epsilon_{\bk m}}{\zi \hbar} A_{\bk, i}^{l m} \bar{c}^{\dagger}_{\bk l} \bar{c}^{}_{\bk m}\end{align}$$

式 (\ref{eq:U})を用いると， $$\begin{align} A_{\bk, i}^{l m} & = \zi \bra{l, \bk} \frac{\partial}{\partial k_i} \ket{m, \bk}\end{align}$$ であることが分かる． つまり波数空間のゲージ場は一般化されたBerry接続に他ならない． （狭義のBerry接続は$l = m$のみを表す．）

Green関数は， $$\begin{align} G_{\bk} (z) & = (z - H_{\bk})^{-1}\end{align}$$ で与えられるが，ユニタリ変換を施すと， $$\begin{align} { G_{\bk} (z) }^{-1} & = U^{}_{\bk} (z - U^{\dagger}_{\bk} H_{\bk} U^{}_{\bk}) U^{\dagger}_{\bk} \notag \\ & = U^{}_{\bk} (z - E_{\bk}) U^{\dagger}_{\bk}\end{align}$$ となることから，式 (\ref{eq:U})を用いると $$\begin{align} G_{\bk} (z) & = \sum_{l} \frac{\ket{\bk, l} \bra{\bk, l}}{z - \epsilon_{\bk l}} \label{eq:G}\end{align}$$ が得られる．

異常Hall伝導度とBerry曲率(縮退のない場合) ¶

電流-電流相関関数 $$\begin{align} \langle J_i; J_j \rangle (\zi \omega_{\lambda}) & = e^2 \int_0^{\beta} \dd{\tau} e^{\zi \omega_{\lambda} \tau} \langle \mathrm{T}_{\tau} J_i (\tau) J_j \rangle\end{align}$$ が以下のように計算される． $$\begin{align} \langle J_i; J_j \rangle (\zi \omega_{\lambda}) & = - e^2 \kB T \sum_n \sum_{\bk} \tr \left[ v_{\bk, i} G_{\bk} (\zi \epsilon_n^{+}) v_{\bk, j} G_{\bk} (\zi \epsilon_n) \right] \label{eq:jj-correlation_def} ,\end{align}$$ ただし $$\begin{align} v_{\bk, i} & = \frac{1}{\hbar} \frac{\partial E_{\bk}}{\partial k_i} + \frac{1}{\zi \hbar} [A_{\bk, i}, E_{\bk}]_{-}\end{align}$$ である． ここで，Green関数の表式 (\ref{eq:G})を代入すると， $$\begin{align} \tr \left[ v_{\bk, i} G_{\bk} (\zi \epsilon_n^{+}) v_{\bk, j} G_{\bk} (\zi \epsilon_n) \right] & = \sum_{l, m} \frac{ \bra{\bk, m} v_{\bk, i} \ket{\bk, l} \bra{\bk, l} v_{\bk, j} \ket{\bk, m} }{(\zi \epsilon_n^{+} - \epsilon_{\bk l}) (\zi \epsilon_n - \epsilon_{\bk m})}\end{align}$$ となるので， $$\begin{align} \bra{\bk, l} v_{\bk, j} \ket{\bk, m} & = \left( \frac{1}{\hbar} \frac{\partial \epsilon_{\bk l}}{\partial k_j} \right) \delta_{l, m} - \frac{\epsilon_{\bk l} - \epsilon_{\bk m}}{\zi \hbar} A_{\bk, i}^{l m}\end{align}$$ となり，第1項は$l \neq m$ではゼロであり，第2項は$l = m$ではゼロになる． よって， $$\begin{align} \tr \left[ v_{\bk, i} G_{\bk} (\zi \epsilon_n^{+}) v_{\bk, j} G_{\bk} (\zi \epsilon_n) \right] & = \sum_{l} \left( \frac{1}{\hbar} \frac{\partial \epsilon_{\bk l}}{\partial k_i} \right) \left( \frac{1}{\hbar} \frac{\partial \epsilon_{\bk l}}{\partial k_j} \right) \frac{ 1 }{(\zi \epsilon_n^{+} - \epsilon_{\bk l}) (\zi \epsilon_n - \epsilon_{\bk l})} \notag \\ & \hspace{1em} + \sum_{l \neq m} \frac{\epsilon_{\bk m} - \epsilon_{\bk l}}{\zi \hbar} A_{\bk, i}^{m l} \frac{\epsilon_{\bk l} - \epsilon_{\bk m}}{\zi \hbar} A_{\bk, j}^{l m} \frac{ 1 }{(\zi \epsilon_n^{+} - \epsilon_{\bk l}) (\zi \epsilon_n - \epsilon_{\bk m})} .\end{align}$$

以下では波数空間のゲージ場を含む項のみを考察する． $$\begin{align} \varphi_{i j} (\zi \epsilon_n^{+}, \zi \epsilon_n) & = - \sum_{l \neq m} \left( \frac{\epsilon_{\bk l} - \epsilon_{\bk m}}{\zi \hbar} \right)^2 \frac{ A_{\bk, i}^{m l} A_{\bk, j}^{l m} }{(\zi \epsilon_n^{+} - \epsilon_{\bk l}) (\zi \epsilon_n - \epsilon_{\bk m})}\end{align}$$ とすると， $$\begin{align} - e^2 \kB T \sum_n \varphi_{i j} (\zi \epsilon_n^{+}, \zi \epsilon_n) & = - e^2 \int \frac{\dd{\epsilon}}{2 \pi \zi} \left[ \left( f (\epsilon_{+}) - f (\epsilon_{-}) \right) \varphi^{\R \A}_{i j} (\epsilon_{+}, \epsilon_{-}) + f (\epsilon_{-}) \varphi^{\R \R}_{i j} (\epsilon_{+}, \epsilon_{-}) - f (\epsilon_{+}) \varphi^{\A \A}_{i j} (\epsilon_{+}, \epsilon_{-}) \right]\end{align}$$ と書き直せる． ただし，$\epsilon_{\pm} = \epsilon \pm \hbar \omega$として$f (\epsilon) = (e^{\beta (\epsilon - \mu)} + 1)^{-1}$はFermi-Dirac分布関数であり， $$\begin{align} \varphi^{\X \Y}_{i j} (\epsilon_{+}, \epsilon_{-}) & = - \sum_{l \neq m} \left( \frac{\epsilon_{\bk l} - \epsilon_{\bk m}}{\zi \hbar} \right)^2 \frac{ A_{\bk, i}^{m l} A_{\bk, j}^{l m} }{(\epsilon_{+} + s_{\X} \zi \gamma - \epsilon_{\bk l}) (\epsilon_{-} + s_{\Y} \zi \gamma - \epsilon_{\bk m})} \qquad (\X, \Y = \R, \A) ,\end{align}$$ また$s_{\R} = +1$, $s_{\A} = -1$であり，$\gamma$は減衰定数である． ここで， $$\begin{align} & \left( f (\epsilon_{+}) - f (\epsilon_{-}) \right) \varphi^{\R \A}_{i j} (\epsilon_{+}, \epsilon_{-}) + f (\epsilon_{-}) \varphi^{\R \R}_{i j} (\epsilon_{+}, \epsilon_{-}) - f (\epsilon_{+}) \varphi^{\A \A}_{i j} (\epsilon_{+}, \epsilon_{-}) \notag \\ & = - 2 \zi \sum_{l \neq m} \left( \frac{\epsilon_{\bk l} - \epsilon_{\bk m}}{\zi \hbar} \right)^2 A_{\bk, i}^{m l} A_{\bk, j}^{l m} \left( \frac{f (\epsilon_{+})}{\epsilon_{-} - \zi \gamma - \epsilon_{\bk m}}
\Im \frac{1}{\epsilon_{+} + \zi \gamma - \epsilon_{\bk l}} + \frac{f (\epsilon_{-})}{\epsilon_{+} + \zi \gamma - \epsilon_{\bk l}}
\Im \frac{1}{\epsilon_{-} + \zi \gamma - \epsilon_{\bk m}} \right) \notag \\ & = 2 \pi \zi \sum_{l \neq m} \left( \frac{\epsilon_{\bk l} - \epsilon_{\bk m}}{\zi \hbar} \right)^2 A_{\bk, i}^{m l} A_{\bk, j}^{l m} \left( \frac{f (\epsilon_{\bk l})}{\epsilon_{\bk l} - \hbar \omega - \epsilon_{\bk m}} \delta (\epsilon_{+} - \epsilon_{\bk l})
+ \frac{f (\epsilon_{\bk m})}{\epsilon_{\bk m} + \hbar \omega - \epsilon_{\bk l}}
\delta (\epsilon_{-} - \epsilon_{\bk m}) \right) .\end{align}$$ ここで，減衰定数が小さいとして $$\begin{align} \Im \frac{1}{\epsilon + \zi \gamma - \epsilon_{\bk l}} & = - \pi \delta (\epsilon - \epsilon_{\bk l})\end{align}$$ を用いた． よって， $$\begin{align} \langle J_i; J_j \rangle (\omega) & = - e^2 \sum_{\bk} \sum_{l \neq m} \left( \frac{\epsilon_{\bk l} - \epsilon_{\bk m}}{\zi \hbar} \right)^2 ( A_{\bk, i}^{m l} A_{\bk, j}^{l m} - A_{\bk, j}^{m l} A_{\bk, i}^{l m} ) \frac{f (\epsilon_{\bk l})}{\epsilon_{\bk l} - \epsilon_{\bk m} - \hbar \omega} .\end{align}$$

$\hbar \omega \ll \mu$のときの，波数空間のゲージ場に由来する電気伝導度$\sigma_{i j}^{\mathrm{a}}$は $$\begin{align} \sigma_{i j}^{\mathrm{a}} & = \lim_{\omega \to 0} \frac{\langle J_i; J_j \rangle (\omega) - \langle J_i; J_j \rangle (0)}{\zi \omega}\end{align}$$ で与えられる． よって， $$\begin{align} \sigma_{i j}^{\mathrm{a}} & = - \frac{e^2}{\zi \hbar} \sum_{\bk} \sum_{l \neq m} ( A_{\bk, i}^{m l} A_{\bk, j}^{l m} - A_{\bk, j}^{m l} A_{\bk, i}^{l m} ) f (\epsilon_{\bk l}) .\end{align}$$ そして，右辺最後の項は$m$に依存する部分はゲージ場のみであるから $$\begin{align} \sum_{m} \left( A_{\bk, i}^{m l} A_{\bk, j}^{l m} - A_{\bk, j}^{m l} A_{\bk, i}^{l m} \right) & = \sum_{m} \left( - \bra{m, \bk} \frac{\partial}{\partial k_i} \ket{l, \bk} \bra{l, \bk} \frac{\partial}{\partial k_j} \ket{m, \bk} + \bra{m, \bk} \frac{\partial}{\partial k_j} \ket{l, \bk} \bra{l, \bk} \frac{\partial}{\partial k_i} \ket{m, \bk} \right) \notag \\ & = \sum_{m} \left[ \left( \frac{\partial}{\partial k_j} \bra{l, \bk} \right) \ket{m, \bk} \bra{m, \bk} \frac{\partial}{\partial k_i} \ket{l, \bk} - \left( \frac{\partial}{\partial k_i} \bra{l, \bk} \right) \ket{m, \bk} \bra{m, \bk} \frac{\partial}{\partial k_j} \ket{l, \bk} \right] \notag \\ & = \left( \frac{\partial}{\partial k_i} \bra{l, \bk} \right) \frac{\partial}{\partial k_j} \ket{l, \bk} - \left( \frac{\partial}{\partial k_j} \bra{l, \bk} \right) \frac{\partial}{\partial k_i} \ket{l, \bk}
\notag \\ & = - \zi \Omega_{l, i j} (\bk)\end{align}$$ となり，Berry曲率に等しい． ここで$\delta_{l m} = \braket{\bk, l | \bk, m}$から$\bra{\bk, l} \partial_i \ket{\bk, m} = - (\partial_i \bra{\bk, l}) \ket{\bk, m}$を用いた． またBerry曲率は $$\begin{align} \Omega_{l, i j} (\bk) & = \frac{\partial}{\partial k_i} A_{\bk, j}^{l l} - \frac{\partial}{\partial k_j} A_{\bk, i}^{l l} \\ & = \zi \left[ \left( \frac{\partial}{\partial k_i} \bra{l, \bk} \right) \frac{\partial}{\partial k_j} \ket{l, \bk} - \left( \frac{\partial}{\partial k_j} \bra{l, \bk} \right) \frac{\partial}{\partial k_i} \ket{l, \bk} \right]\end{align}$$ で定義される．

以上から， $$\begin{align} \sigma_{i j}^{\mathrm{a}} & = \frac{e^2}{\hbar} \sum_{\bk} \sum_{l} f (\epsilon_{\bk l}) \Omega_{l, ij} (\bk)\end{align}$$ となり，Berry曲率で記述されることが分かる．

縮退のある場合の波数空間のゲージ場と異常Hall伝導度，Berry接続行列 ¶

前節までの議論は，一見すると一般的に見えるが，系に縮退がある場合には成り立たない． まず具体的に，準位$n = a$が$k$重に縮退している場合を考える²． このとき， $$\begin{align} \epsilon_{a, s} = \epsilon_{a, s’} , \qquad s, s’ = 1, 2, \cdots k\end{align}$$ となる． ゆえに速度演算子の行列要素は $$\begin{align} \bra{\bk, a, s} v_{\bk, j} \ket{\bk, a, s’} & = \left( \frac{1}{\hbar} \frac{\partial \epsilon_{\bk l}}{\partial k_j} \right) \delta_{s, s’}\end{align}$$ であることが分かる． $\epsilon_{a, s} = \epsilon_{a, s’}$なので非対角成分が残らない． この場合の電流電流相関関数は $$\begin{align} \langle J_i; J_j \rangle (\omega) & = - e^2 \sum_{\bk} \sum_{l \neq m} \left( \frac{\epsilon_{\bk l} - \epsilon_{\bk m}}{\zi \hbar} \right)^2 ( A_{\bk, i}^{m l} A_{\bk, j}^{l m} - A_{\bk, j}^{m l} A_{\bk, i}^{l m} ) \frac{f (\epsilon_{\bk l})}{\epsilon_{\bk l} - \epsilon_{\bk m} - \hbar \omega}\end{align}$$ と書ける． 縮退がない場合の式と変わらない． ゆえに，Hall伝導度は $$\begin{align} \sigma_{i j}^{\mathrm{a}} & = - \frac{e^2}{\zi \hbar} \sum_{\bk} \sum_{l \neq m} ( A_{\bk, i}^{m l} A_{\bk, j}^{l m} - A_{\bk, j}^{m l} A_{\bk, i}^{l m} ) f (\epsilon_{\bk l})\end{align}$$ となる． ここで $$\begin{align} \sum_{m (\neq l)} \ket{m, \bk} \bra{m, \bk} & = 1 - \delta_{l, a} \sum_{s = 1}^{k} \ket{a, s, \bk} \bra{a, s, \bk} - (1 - \delta_{l, a}) \ket{l, \bk} \bra{l, \bk}\end{align}$$ なので， $$\begin{align} & \sum_{m (\neq l)} \left( A_{\bk, i}^{m l} A_{\bk, j}^{l m} - A_{\bk, j}^{m l} A_{\bk, i}^{l m} \right) \notag \\ & = \sum_{m (\neq l)} \left( - \bra{m, \bk} \frac{\partial}{\partial k_i} \ket{l, \bk} \bra{l, \bk} \frac{\partial}{\partial k_j} \ket{m, \bk} + \bra{m, \bk} \frac{\partial}{\partial k_j} \ket{l, \bk} \bra{l, \bk} \frac{\partial}{\partial k_i} \ket{m, \bk} \right) \notag \\ & = \sum_{m (\neq l)} \left[ \left( \frac{\partial}{\partial k_j} \bra{l, \bk} \right) \ket{m, \bk} \bra{m, \bk} \frac{\partial}{\partial k_i} \ket{l, \bk} - \left( \frac{\partial}{\partial k_i} \bra{l, \bk} \right) \ket{m, \bk} \bra{m, \bk} \frac{\partial}{\partial k_j} \ket{l, \bk} \right] \notag \\ & = \left( \frac{\partial}{\partial k_i} \bra{l, \bk} \right) \frac{\partial}{\partial k_j} \ket{l, \bk} - \left( \frac{\partial}{\partial k_j} \bra{l, \bk} \right) \frac{\partial}{\partial k_i} \ket{l, \bk}
\notag \\ & \hspace{1em} - \delta_{l, a} \sum_{s’} \left[ \left( \frac{\partial}{\partial k_j} \bra{a, s, \bk} \right) \ket{a, s’, \bk} \bra{a, s’ \bk} \frac{\partial}{\partial k_i} \ket{a, s, \bk} - \left( \frac{\partial}{\partial k_i} \bra{a, s, \bk} \right) \ket{a, s’, \bk} \bra{a, s’, \bk} \frac{\partial}{\partial k_j} \ket{a, s, \bk}
\right] \notag \\ & = - \zi \Omega_{l, ij} (\bk) - \delta_{l, a} \sum_{s’} \left( A_{\bk, j}^{a, s s’} A_{\bk, i}^{a, s’ s} - A_{\bk, i}^{a, s s’} A_{\bk, j}^{a, s’ s} \right) .\end{align}$$ よって $$\begin{align} \sigma_{i j}^{\mathrm{a}} & = \frac{e^2}{\hbar} \sum_{\bk} \sum_{l \neq a} f (\epsilon_{\bk l}) \Omega_{l, i j} (\bk) + \frac{e^2}{\hbar} \sum_{\bk} \sum_{s} f (\epsilon_{\bk a}) \left[ \Omega_{a, s, i j} (\bk) - \zi \sum_{s’} \left( A_{\bk, j}^{a, s s’} A_{\bk, i}^{a, s’ s} - A_{\bk, i}^{a, s s’} A_{\bk, j}^{a, s’ s} \right) \right] \notag \\ & = \frac{e^2}{\hbar} \sum_{\bk} \sum_{l \neq a} f (\epsilon_{\bk l}) \Omega_{l, i j} (\bk) + \frac{e^2}{\hbar} \sum_{\bk} f (\epsilon_{\bk a}) \tr \left[ \partial_i A_{\bk, j}^{a} - \partial_j A_{\bk, i}^{a} + \zi [A_{\bk, i}^{a}, A_{\bk, j}^{a} ] \right]\end{align}$$ ここで $$\begin{align} (A_{\bk, i}^{a})_{s, s’} & = A_{\bk, i}^{a, s s’}\end{align}$$ となる行列を導入した．

次に系全体が2重に縮退している場合を考える． 縮退度を表すラベルを$s = 1, 2$で示す． 今の場合のGreen関数は $$\begin{align} G_{\bk} (z) & = \sum_{l, s} \frac{ \ket{l, s, \bk} \bra{l, s, \bk} }{z - \epsilon_{\bk l}}\end{align}$$ で与えられ，速度演算子は $$\begin{align} \bra{\bk, l, s} v_{\bk, j} \ket{\bk, m, s’} & = \left( \frac{1}{\hbar} \frac{\partial \epsilon_{\bk l}}{\partial k_j} \right) \delta_{l, m} \delta_{s, s’} + \frac{\epsilon_{\bk l} - \epsilon_{\bk m}}{\zi \hbar} A_{\bk, i}^{l s, m s’} ,\end{align}$$ ただし波数空間のゲージ場$A_{\bk, i}^{l s, m s’}$は以下で与えられる． $$\begin{align} A_{\bk, i}^{l s, m s’} & = - \zi \bra{\bk, l, s} \frac{\partial}{\partial k_i} \ket{\bk, m, s’} .\end{align}$$

電流-電流相関関数は $$\begin{align} \langle J_i; J_j \rangle (\zi \omega_{\lambda}) & = - e^2 \kB T \sum_n \sum_{\bk} \tr \left[ v_{\bk, i} G_{\bk} (\zi \epsilon_n^{+}) v_{\bk, j} G_{\bk} (\zi \epsilon_n) \right]\end{align}$$ で与えられることは変わらず，$\tr [\cdots]$の計算は $$\begin{align} \tr \left[ v_{\bk, i} G_{\bk} (\zi \epsilon_n^{+}) v_{\bk, j} G_{\bk} (\zi \epsilon_n) \right] & = \sum_{l, s} \left( \frac{1}{\hbar} \frac{\partial \epsilon_{\bk l}}{\partial k_i} \right) \left( \frac{1}{\hbar} \frac{\partial \epsilon_{\bk l}}{\partial k_j} \right) \frac{ 1 }{(\zi \epsilon_n^{+} - \epsilon_{\bk l}) (\zi \epsilon_n - \epsilon_{\bk l})} \notag \\ & \hspace{1em} + \sum_{l \neq m} \sum_{s, s’} \frac{\epsilon_{\bk m} - \epsilon_{\bk l}}{\zi \hbar} A_{\bk, i}^{m s’, l s} \frac{\epsilon_{\bk l} - \epsilon_{\bk m}}{\zi \hbar} A_{\bk, j}^{l s, m s’} \frac{ 1 }{(\zi \epsilon_n^{+} - \epsilon_{\bk l}) (\zi \epsilon_n - \epsilon_{\bk m})} .\end{align}$$ 同様に波数空間のゲージ場に比例する項のみに着目して，電気伝導度を計算すると， $$\begin{align} \sigma_{i j}^{\mathrm{a}} & = - \frac{e^2}{\zi \hbar} \sum_{\bk} \sum_{l \neq m} \sum_{s, s’} ( A_{\bk, i}^{m s’, l s} A_{\bk, j}^{l s, m s’} - A_{\bk, j}^{m s’, l s} A_{\bk, i}^{l s, m s’} ) f (\epsilon_{\bk l})\end{align}$$ と書ける． $$\begin{align} & \sum_{m (\neq l), s’} \left( A_{\bk, i}^{m s’, l s} A_{\bk, j}^{l s, m s’} - A_{\bk, j}^{m s’, l s} A_{\bk, i}^{l s, m s’} \right) \notag \\ & = \sum_{m (\neq l), s’} \left( - \bra{m, s’, \bk} \frac{\partial}{\partial k_i} \ket{l, s, \bk} \bra{l, s, \bk} \frac{\partial}{\partial k_j} \ket{m, s’, \bk}
+ \bra{m, s’, \bk} \frac{\partial}{\partial k_j} \ket{l, s, \bk} \bra{l, s, \bk} \frac{\partial}{\partial k_i} \ket{m, s’, \bk}
\right) \notag \\ & = \sum_{m (\neq l), s’} \left[ \left( \frac{\partial}{\partial k_j} \bra{l, s, \bk} \right) \ket{m, s’, \bk} \bra{m, s’, \bk} \frac{\partial}{\partial k_i} \ket{l, s, \bk} - \left( \frac{\partial}{\partial k_i} \bra{l, \bk} \right) \ket{m, s’, \bk} \bra{m, s’, \bk} \frac{\partial}{\partial k_j} \ket{l, s, \bk}
\right]\end{align}$$ となるが，ここで，完全系の条件 $$\begin{align} \sum_{n} \sum_{s} \ket{n, s, \bk} \bra{n, s, \bk} & = 1\end{align}$$ から $$\begin{align} \sum_{m (\neq l)} \sum_{s} \ket{n, s, \bk} \bra{n, s, \bk} & = 1 - \sum_{s} \ket{l, s, \bk} \bra{l, s, \bk}\end{align}$$ となることを用いると， $$\begin{align} \sum_{m (\neq l), s’} \left( A_{\bk, i}^{m s’, l s} A_{\bk, j}^{l s, m s’} - A_{\bk, j}^{m s’, l s} A_{\bk, i}^{l s, m s’} \right) & = \left( \frac{\partial}{\partial k_i} \bra{l, s, \bk} \right) \frac{\partial}{\partial k_j} \ket{l, s, \bk} - \left( \frac{\partial}{\partial k_j} \bra{l, s, \bk} \right) \frac{\partial}{\partial k_i} \ket{l, s, \bk} \notag \\ & \hspace{1em} - \sum_{s’} \left[ \left( \frac{\partial}{\partial k_j} \bra{l, s, \bk} \right) \ket{l, s’, \bk} \bra{l, s’, \bk} \frac{\partial}{\partial k_i} \ket{l, s, \bk} \right. \notag \\ & \hspace{4em} \left. - \left( \frac{\partial}{\partial k_i} \bra{l, s, \bk} \right) \ket{l, s’, \bk} \bra{l, s’, \bk} \frac{\partial}{\partial k_j} \ket{l, s, \bk}
\right] \notag \\ & = - \zi \left( \frac{\partial A_{\bk, j}^{l s, l s}}{\partial k_i} - \frac{\partial A_{\bk, i}^{l s, l s}}{\partial k_j} \right) - \sum_{s’} \left[ A_{\bk, i}^{l s’, l s}, A_{\bk, j}^{l s, l s’} \right] .\end{align}$$ よって， $$\begin{align} \sigma_{i j}^{\mathrm{a}} & = \frac{e^2}{\hbar} \sum_{\bk} \sum_{l} f (\epsilon_{l \bk}) \tr \left[ \left( \frac{\partial A_{\bk, j}^{l}}{\partial k_i} - \frac{\partial A_{\bk, i}^{l}}{\partial k_j} \right) - \zi \left[ A_{\bk, i}^{l}, A_{\bk, j}^{l} \right] \right]\end{align}$$ と書ける． ただし $$\begin{align} ( A_{\bk, i}^{l} )_{s, s’} & = A_{\bk, i}^{l s, l, s’}\end{align}$$ で与えられる行列を導入した．